Cadran solaire analemmatique (théorie)

Théorie :

Dans ce type de cadran solaire, la table (surface où l'ombre est projetée) doit être horizontale et le gnomon (bâton ou arête verticale dont l'ombre indique l'heure) est mobile.
Il doit être positionné, selon le jour de l'année, sur l'axe central.
Pour comprendre, on part d'un cadran équatorial qui sera projeté sur la table horizontale

Soit C le cercle gradué de rayon R d'un cadran équatorial. Ce cercle est sur une table parallèle à l'équateur et son style est perpendiculaire à cette table (donc incliné d'un angle égal à la latitude par rapport à l'horizontale). Sur ce cadran, les heures sont dessinées régulièrement tous les 15°, et l'ombre d'un point du style décrit au cours de la journée un cercle de centre O sur le dessus de la table au printemps et en été et en dessous en automne et en hiver. Aux équinoxes, les rayons du soleil sont parallèles à la table. L'angle des rayons de soleil par rapport à la table correspond à la déclinaison D du soleil (sa variation est très faible au cours d'une journée, nous la considérerons nulle).

Soit E le point d'intersection du style avec le rayon de soleil qui parcours le cercle C durant la journée. E se trouve à une hauteur R tg D au dessus de la table. La longueur du style est limitée à R tg 23.5° au dessus de la table (solstice d'été) et R tg -23.5° en dessous (solstice d'hiver).
Si on projette ce cercle C et son style sur un plan horizontal, on obtient une ellipse C' de centre O' de grand axe de longueur 2 R et de petit axe de longueur 2 R sin (lat) (lat = latitude du lieu). Le point E se projette en E' sur le petit axe de l'ellipse à une distance de O' = R tg D cos (lat). Si on place un style vertical en E', le rayon de soleil qui passe par ce style en E'' et par l'ellipse en F' est parallèle à EF. Le plan E F F' E'' est vertical. Le point F qui indique l'heure sur le cadrant équatorial est projeté en F' sur l'ellipse. L'ombre E' F' du style sur la table horizontale indique l'heure en coupant l'ellipse en F'.
On l'a vu, E F F' E'' forment un parallélogramme, F' E'' sera donc toujours égal à F E qui lui ne change pas de longueur pendant la journée. La longueur du rayon de soleil F' E'' entre le style et l'ellipse ne varie pas pendant la journée et est égale à R / cos D.

Tracé de l'ellipse

L'angle horaire AH correspond à la graduation d'un cadran équatorial : 15° par heure. Par exemple, pour un cadran indiquant l'heure solaire locale, l'axe des y correspond à 12 heures (AH = 0), AH = 15° pour 13 heures et AH = -30° pour 10 heures. Par le dessin, on peut construire l'ellipse en traçant 2 cercles concentriques de rayon R et R sin (lat). Pour chaque angle AH, on trace un rayon qui coupe les 2 cercles en 2 points. Le point de l'ellipse est à l'intersection de la projection verticale pour le grand cercle et horizontale pour le petit de ces 2 points. Par le calcul, les coordonnées de l'ellipse sont x = R sin AH y = R sin (lat) cos AH Le déplacement du gnomon à pour valeur R tg D cos (lat) Ces tracés sont réalisés par le programme que vous pouvez télécharger (gratuitement).

Pour en savoir plus sur
- le programme à télécharger (gratuitement) qui permet de dessiner le cadran analemmatique.
- son utilisation : ex : ma voiture sera-t-elle encore à l'ombre dans 3 heures ?, heure de coucher du soleil, le sud géographique sans boussole

Sites intéressants :

Pour visualiser le mouvement du soleil sur un cadran analemmatique grâce à une très belle animation :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Soleil/Heure/cad_a.html

Pour comprendre à quoi correspond l'équation du temps, un site très bien fait mais malheureusement en anglais :
http://www.analemma.com/

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